【夹角公式是什么】在数学中，夹角公式是用于计算两个向量、两条直线或两个平面之间夹角的工具。它是几何学和向量分析中的重要概念，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。本文将总结常见的夹角公式，并以表格形式进行展示，便于理解和查阅。

一、常见夹角公式的总结

二、具体应用示例

1. 向量夹角计算

设向量 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, 4)$

则：

- 点积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1×3 + 2×4 = 3 + 8 = 11$

- 模长：$\vec{a} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，$\vec{b} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

- 夹角：$\cos\theta = \frac{11}{\sqrt{5}×5} ≈ 0.9839$ → θ ≈ 10°

2. 直线夹角计算

若直线L₁的斜率为 $k_1 = 1$，L₂的斜率为 $k_2 = 2$

则：

- $\tan\theta = \left \frac{2 - 1}{1 + 1×2} \right = \left \frac{1}{3} \right = \frac{1}{3}$

- θ ≈ 18.43°

3. 平面夹角计算

设平面π₁的法向量为 $\vec{n}_1 = (1, 0, 0)$，π₂的法向量为 $\vec{n}_2 = (0, 1, 0)$

则：

- 点积：$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$

- 夹角：$\cos\theta = 0$ → θ = 90°（两平面垂直）

三、注意事项

- 在使用夹角公式时，应确保单位一致，角度通常以弧度或角度表示。

- 对于直线夹角，公式仅适用于非垂直的情况；若 $1 + k_1k_2 = 0$，则两直线垂直。

- 向量夹角的范围一般为 $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$。

四、结语

夹角公式是连接几何形状与代数运算的重要桥梁，掌握其原理和应用场景有助于解决实际问题。无论是向量、直线还是平面，理解它们之间的夹角关系都能帮助我们更深入地分析空间结构和运动规律。