【正弦余弦正切余切定义及关系】在三角函数的学习中，正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）和余切（cot）是最基础且重要的四个函数。它们用于描述直角三角形中边与角之间的关系，同时也广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。
以下是对这四个三角函数的定义及其基本关系的总结。
一、定义
在直角三角形中，设角θ为一个锐角，其对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
| 函数名称 | 定义式 | 表达方式 |
| 正弦（sin） | 对边与斜边的比值 | $\sin\theta = \dfrac{a}{c}$ |
| 余弦（cos） | 邻边与斜边的比值 | $\cos\theta = \dfrac{b}{c}$ |
| 正切（tan） | 对边与邻边的比值 | $\tan\theta = \dfrac{a}{b}$ |
| 余切（cot） | 邻边与对边的比值 | $\cot\theta = \dfrac{b}{a}$ |
二、基本关系
1. 倒数关系
- $\tan\theta = \dfrac{1}{\cot\theta}$
- $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$
- $\sin\theta = \dfrac{1}{\csc\theta}$（注：csc为余割，不属于本篇内容）
- $\cos\theta = \dfrac{1}{\sec\theta}$（注：sec为正割，不属于本篇内容）
2. 商数关系
- $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
- $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
3. 平方关系
- $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
- $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$（不包含于本文）
- $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$（不包含于本文）
三、常见角度的三角函数值（0°, 30°, 45°, 60°, 90°）
| 角度（°） | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ | $\cot\theta$ |
| 0° | 0 | 1 | 0 | 不存在 |
| 30° | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $\sqrt{3}$ |
| 45° | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 | 1 |
| 60° | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 90° | 1 | 0 | 不存在 | 0 |
四、小结
正弦、余弦、正切和余切是三角函数中最基础的四个函数，它们之间存在明确的定义关系和运算规律。理解这些函数的定义和相互关系，有助于进一步学习更复杂的三角恒等式、三角方程以及应用问题。
通过表格形式的归纳，可以更清晰地掌握各函数的定义及其数值特征，为后续学习打下坚实的基础。
