在交流电路中，电感和电容作为两种重要的无源元件，其对电流的影响分别通过感抗和容抗来描述。感抗（XL）是电感对交流电的阻碍作用，而容抗（XC）则是电容对交流电的阻碍作用。这两种特性都与电路中的频率相关，因此理解它们的公式推导过程对于分析复杂电路至关重要。

首先，我们来看感抗的推导。根据电磁学的基本原理，电感线圈会产生感应电动势以抵抗电流的变化。当交流电流通过电感时，这个感应电动势会随着电流变化率增加而增强。数学上，感应电动势 \( e \) 可表示为：

\[ e = -L \frac{di}{dt} \]

其中 \( L \) 是电感量，\( i \) 是通过电感的电流。对于正弦波电流 \( I_m \sin(\omega t) \)，其变化率为：

\[ \frac{di}{dt} = I_m \omega \cos(\omega t) \]

将此代入感应电动势公式，并考虑到电压 \( V \) 等于电动势 \( e \)，得到：

\[ V = L I_m \omega \cos(\omega t) \]

由于电压和电流之间存在相位差，且正弦函数的最大值对应余弦函数的零点，可以得出有效值之间的关系：

\[ X_L = \omega L \]

这就是感抗的公式。

接下来讨论容抗的推导。电容器存储电荷的能力决定了它对交流电的阻碍作用。对于一个充电过程，电容器两端的电压 \( V_C \) 与通过它的电荷 \( Q \) 成正比：

\[ V_C = \frac{Q}{C} \]

而电荷 \( Q \) 随时间的变化率就是电流 \( I \)：

\[ I = \frac{dQ}{dt} \]

结合这两个方程，我们可以得到：

\[ I = C \frac{dV_C}{dt} \]

同样地，假设输入电压为 \( V_m \sin(\omega t) \)，则其导数为：

\[ \frac{dV_C}{dt} = V_m \omega \cos(\omega t) \]

由此可得电流的有效值形式：

\[ X_C = \frac{1}{\omega C} \]

这就是容抗的公式。

综上所述，感抗和容抗分别由电感和电容决定，它们都依赖于电路的工作频率 \( \omega \)。感抗随频率增大而增大，而容抗则随频率增大而减小。这种频率依赖性使得它们成为交流电路设计中的关键参数。