在数学分析中，探讨函数的导数是理解其变化规律的重要手段之一。对于三角函数而言，$\tan x$ 的导数推导过程尤其值得深入研究。这里我们将从定义出发，逐步推导出这一结果。

首先回顾一下 $\tan x$ 的定义：

$$

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.

$$

为了求解它的导数，我们可以利用商法则。商法则表述为：若两个可导函数 $u(x)$ 和 $v(x)$ 满足 $v(x) \neq 0$，则它们的商的导数为：

$$

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

$$

将 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ 带入上述公式，令 $u(x) = \sin x$ 和 $v(x) = \cos x$，则有：

$$

u'(x) = \cos x, \quad v'(x) = -\sin x.

$$

代入商法则后得到：

$$

(\tan x)' = \frac{( \cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x}.

$$

进一步化简分子部分：

$$

\cos^2 x + \sin^2 x = 1,

$$

因此：

$$

(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}.

$$

注意到 $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$，所以最终结果为：

$$

(\tan x)' = \sec^2 x.

$$

通过以上步骤，我们成功推导出了 $\tan x$ 的导数公式。这一结论不仅在理论上有重要意义，在实际应用中也经常被用来解决微积分问题。

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