【不等式常见公式】在数学学习中，不等式是重要的基础知识之一，广泛应用于代数、几何、函数以及实际问题的分析中。掌握常见的不等式公式，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。以下是对一些常见的不等式公式的总结，并以表格形式进行整理，便于查阅与记忆。
一、不等式基本概念
不等式是表示两个数或表达式之间大小关系的式子，常用符号包括：
- $ > $：大于
- $ < $：小于
- $ \geq $：大于等于
- $ \leq $：小于等于
二、常见不等式公式汇总
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||||||
| 非负性 | $ a^2 \geq 0 $ | 任意实数平方非负 | ||||||
| 绝对值不等式 | $ | a | \geq 0 $ | 绝对值非负 | ||||
| 三角不等式 | $ | a + b | \leq | a | + | b | $ | 向量或实数的模长满足此不等式 |
| 基本不等式（均值不等式） | $ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $（当 $ a, b \geq 0 $） | 算术平均 ≥ 几何平均 | ||||||
| 二次不等式 | $ ax^2 + bx + c > 0 $ | 根据判别式判断解集 | ||||||
| 柯西不等式 | $ (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 $ | 向量内积的不等式 | ||||||
| 权方和不等式 | $ \frac{a_1^{p} + a_2^{p} + \cdots + a_n^{p}}{n} \geq \left( \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \right)^p $（当 $ p \geq 1 $） | 幂平均不等式的一种形式 |
三、典型应用举例
1. 均值不等式应用：
若 $ a > 0 $，$ b > 0 $，则有 $ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $，等号成立当且仅当 $ a = b $。
2. 三角不等式应用：
对于任意实数 $ a $ 和 $ b $，有 $
3. 柯西不等式应用：
在求最值、证明不等式时非常有用，尤其在向量和函数空间中。
四、注意事项
- 不等式两边同时乘以或除以负数时，必须改变不等号方向。
- 解不等式时，要注意定义域和变量范围。
- 多个不等式可以组合使用，形成不等式组。
通过以上内容的整理，可以帮助学生系统地掌握不等式的基本知识和常用公式，为后续的学习打下坚实的基础。建议结合例题练习，加深理解和记忆。
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