【tan105度等于多少】在三角函数中，正切（tan）是一个重要的函数，常用于计算直角三角形中的边角关系。对于一些特殊角度，如30度、45度、60度等，我们可以直接记忆它们的正切值，但对于像105度这样的非标准角度，就需要通过公式或计算来求解。
105度可以看作是60度和45度的和，因此可以通过正切的加法公式来计算其值：
$$
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}
$$
令 $ a = 60^\circ $，$ b = 45^\circ $，则有：
$$
\tan(105^\circ) = \tan(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \cdot \tan 45^\circ}
$$
已知：
- $ \tan 60^\circ = \sqrt{3} $
- $ \tan 45^\circ = 1 $
代入得：
$$
\tan(105^\circ) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}
$$
为了简化这个表达式，我们可以对分子和分母同时乘以 $ 1 + \sqrt{3} $，得到：
$$
\tan(105^\circ) = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}
$$
计算分子和分母：
- 分子：$ (\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3}) = 1 \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3} + 1 + 3 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 4 $
- 分母：$ (1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2 $
所以：
$$
\tan(105^\circ) = \frac{2\sqrt{3} + 4}{-2} = -\left( \sqrt{3} + 2 \right)
$$
最终结果为：
$$
\tan(105^\circ) = -2 - \sqrt{3}
$$
表格总结：
| 角度 | 正切值（tan） |
| 105° | -2 - √3 |
如果使用计算器进行验证，也可以得到近似值：
- $ \sqrt{3} \approx 1.732 $
- 所以 $ -2 - \sqrt{3} \approx -3.732 $
因此，tan105度的精确值为 -2 - √3，近似值约为 -3.732。
